¡Oh Zeus, padre nuestro, a todos los hombres librarías de los numerosos males que les abruma, si hicieses ver a todos de qué Genio se sirven!
Mas tú, cobra ánimos, pues que sabes que la raza de los hombres es divina, y que la sagrada naturaleza les revela francamente las cosas todas
Versos LXI a LXVI de los “Versos de Oro” de Pitágoras
Por José María Lentino
El descubrimiento de una demostración formal para la propiedad: “en todo triángulo rectángulo el cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”, produjo, en la concepción pitagórica del universo, el impacto más profundo y demoledor que pueda imaginarse. A consecuencia de él, la orden se sumió en una tremenda angustia metafísica, a tal extremo que prohibieron toda mención del mismo, amenazando con severos castigos a quien profanase el silencio obligatorio. A pesar de esas presiones algunos miembros de la hermandad divulgaron las sorpresivas implicanciones del descubrimiento. Tal el caso de Hipassos, quien hizo público el terrible hallazgo, quizas en venganza por haber sido expulsado al atribuirse indebidamente la construcción del dodecaedro, símbolo del universo según la doctrina pitagórica. Estos y otros grandes males fueron imputados al descubrimiento. Aunque, en rigor de verdad, no fue exactamente el causante de la catástrofe, sino una de sus consecuencias inmediatas: el descubrimiento de los números irracionales. No obstante estos infortunios, la hazaña pitagórica constituye como se vera, uno de los pasos más importantes del largo camino de los hombres hacia el conocimiento científico.
El drama pitagórico, fue una suerte de caso ejemplificador de varias de las características y tendencias que desde siempre se han presentado en el pensamiento filosófico y ético de la humanidad. La ruptura entre las concepciones místicas y los dictados de la razón, entre aquello que los hombres imaginan que puede ser y lo que realmente es. Tal vez desde ese momento, toda cosmovisión religiosa que incluyera al universo de las cosas, tuvo que vigilar el alcance de sus afirmaciones para evitar enfrentarse con evidencias lógicas o empíricas que pudieran saltar a la vista del analista crítico. Aunque, en los albores del pensamiento sistemático, poco era lo que podía la razón, quedó claramente establecida una tendencia que aún hoy persiste con más fuerza que nunca.
No creemos que proponer conjeturas sobre cómo son las cosas o quienes pueblan el cielo y la tierra sea un acto perverso; lejos de eso, cualquier intento de explicación es válido aunque no necesariamente verdadero. El hombre de la antigüedad o el moderno utilizan los medios materiales y conceptuales que poseen, sean estos primitivos o evolucionados, basados en la fe o no. El error es negarse a ver la realidad, sea por comodidad o por conveniencia y, mucho peor, por imponérsela a otro. El error es retroceder espantado ante un nuevo espacio de conocimiento, no tanto por sus implicancias tecnológicas, tal vez discutibles, sino por sus derivaciones filosóficas.
Siempre el conocimiento ha estado asociado al poder y la orden de los pitagóricos creía ser poseedora del conocimiento total del universo. Percibió correctamente la inevitable pérdida que acarrearía la divulgación de la verdad, por lo que prefirió mantenerla en secreto o hasta mentir antes que ver disminuida su influencia. Toda visión integrista de la realidad, firmemente establecida, trata de ser lo más extensa posible y lo menos refutable que pueda. En rigor de los hechos, al poder integrista no le interesa toda la verdad, sino solo aquella que mantiene el statu-quo de su doctrina o en su defecto cualquier mentira que pueda ser defendida como una verdad. No cuenta aquí la sinceridad o buena voluntad con que se sostienen los principios dogmáticos o metafísicos, si estos implican el sufrimiento de otros hombres que no los comparten. Una revelación sólo puede tolerarse en la medida que no sea impuesta a los demás. Verdad o mentira no son simétricas; muy poco esfuerzo y seguramente ningún costo ético, es necesario para mantener una verdad en tanto que son necesarios hasta crímenes terribles para sostener una mentira. Ninguna razón de mérito o poder, justificada o no, pueden avalar una conclusión, ni sustraernos el derecho a la duda que sobre ella tengamos.
El edificio de la ciencia solo puede mantenerse en la seguridad de estar sosteniendo la verdad a cualquier precio. Esto significa que toda verificación lógica o experimental que refute una teoría establecida, debe decretar sin más, su revisión en uno o más aspectos. En cierto modo la ciencia también extrema sus actos con vistas a lograr un objetivo que, en este caso no es el poder a secas, sino la discusión pública de sus afirmaciones no importando cuáles fueren las consecuencias de sus hallazgos. Está claro que la ciencia es esto, no obstante, a veces ciertos sectores de la corporación científica, que no debe ser confundido con el sistema de la ciencia, aferrándose a un paradigma exitoso, pueden llegar a emerger como un centro de poder integrista; sin mencionar gobiernos y sociedades políticas que en incontables ocasiones han utilizado los conocimientos científicos con fines execrables. El riesgo a una aplicación abusiva o inmoral de hallazgos científicos debe hacernos extremar el control democrático sobre aquellos que potencialmente pueden emplearlos de mal modo; pero de ninguna forma limitar el derecho de todos a conocer la verdad, con más razón si esta es empíricamente confrontable.
La extensión explicativa de una teoría es directamente proporcional a la resistencia que los grupos de poder presentan para abandonarlas; y naturalmente si lo que está en juego es una visión cosmológica de la realidad, las respuestas al cambio pueden ser catastróficas. Tales fueron las consecuencias de la inquisición y de los regímenes totalitarios que creían y creen disponer la explicación de todo. Tal vez en una forma más benigna esto le pasó también a la escuela pitagórica de Crotona. La ciencia no debe tener secretos de ninguna clase, y no existe razón científica para ocultar los hechos; por lo que debe ser pública y de libre acceso para todo el que pueda iniciarse en ella. Ningún conocimiento oculto puede ser científico y si lo es, alguien debe estar tratando de mantener alguna cuota de poder, especulando con lo que él sabe y otros ignoran
El gran faro de luz que fue el pitagorismo no se agota en sus luchas políticas. El contenido místico-religioso-matemático de las ideas adjudicadas a Pitágoras es de tal riqueza histórica y filosófica, que según Bertrand Russell no existe otro hombre que haya tenido más influencia en el campo del pensamiento. Si se analizan correctamente los hechos, se llega a la conclusión de que las teorías platónicas sobre la existencia de un mundo de ideas perfectas, eternas y superiores al mundo de las cosas materiales nacen con las ideas pitagóricas de los entes matemáticos abstractos como origen y referencia de todo lo observable. Los pitagóricos pensaban en términos de números cuadrados, triangulares, cúbicos, oblongos, piramidales, etc., suponiendo además que la intimidad de la materia estaba construida de estos materiales, y que estas piezas constitutivas del universo eran las mismas que se evidenciaban en la mente del hombre. Entiéndase bien, no era que creían que los fenómenos podían estudiarse exhaustivamente cuantificando sus partes, sino que el fenómeno mismo se formaba con números. Como vemos teorizaban en el más alto nivel sin plantearse, sin embargo, la más mínima confrontación experimental. Hacían matemáticas pero en ningún momento pensaron en investigar empíricamente la naturaleza. Obviamente extraer conclusiones de estos números era idéntico a extraerlas de la realidad, de allí la emoción mística que les producía la demostración exitosa de una propiedad matemática. Al respecto Jámblico escribió: “… descubrieron que es posible y qué es imposible en la estructura del universo partiendo de lo que es posible e imposible en las matemáticas, y derivaron las revoluciones celestes de las reglas causales de acuerdo con números conmensurables, definiendo las medidas del cielo con ciertas leyes matemáticas y, en general, estableciendo la ciencia vaticinadora de la naturaleza mediante las matemáticas y haciendo de éstas un principio para todo lo que puede observarse en el cosmos.“ El pensamiento humano, la razón, por si sola, era capaz de penetrar los misterios de la naturaleza y entender el lenguaje del cosmos, y aquí llegamos a otro punto liminar, desde este momento cumbre, el hombre confió en que el universo entero, incluidos los entes de la religión, era accesible al intelecto humano. San Agustín, Tomás de Aquino, Platón, Descartes, Spinoza, Leibnitz, Pascal, Einstein, todos ellos, son continuadores de la idea que de Dios y el universo se revelan principalmente al pensamiento antes que a los sentidos.
Los pitagóricos avanzaron notablemente en el conocimiento de los números naturales. Utilizando métodos gráficos, llegaron a descubrir muchísimos teoremas aritméticos. Representaban los números exhibiendo explícitamente las unidades que lo componían, dándole a esos grafismos la forma que convenía a sus demostraciones, llamaban a estos arreglos números triangulares, cuadrados, cúbicos, oblongos, etc.
Los números triangulares, por ejemplo, se obtenían como se muestra abajo:
Número Triangular: 1 2 3 4
Grafismo
Número Natural 1 3 5 10 etc.
De la manipulación de estos grafismos eran capaces de deducir propiedades importantes de los números, por ejemplo, utilizando los números triangulares, hallaron que para todo n entero positivo se verifica:
1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n = ½n(n + 1)
Otra representación posible eran los números cuadrados que simbolizaban:
Número Cuadrado 1 2 3 4
Grafismo
Número Natural 1 4 9 16 etc.
Métodos similares utilizando los números cuadrados les permitieron demostrar que:
1 + 3 + 5 +. . . + (2n + 1) = n²
Observemos en este caso, que para pasar de un número cuadrado de lado n, a otro de lado n + 1, debe agregarse una fila y una columna, también de lado n, y un punto faltante, de modo que, llegando a un cuadrado de lado n + 1, resulta:
n² + 2n + 1 = (n + 1)²
Observemos ahora que interpretando adecuadamente los puntos de un número cuadrado (segunda potencia de algún entero) puede demostrarse el binomio de Newton, en efecto, el número cuadrado se dibuja de la siguiente forma:
a b
- • • • • • • • •
- • • • • • • • •
a • • • • • • • • •
- • • • • • • • •
- • • • • • • • •
- • • • • • • • •
b • • • • • • • • •
- • • • • • • • •
ordenando los puntos quedan cuatro áreas
I II
- • • • • • • • •
- • • • • • • • •
- • • • • • • • •
- • • • • • • • •
- • • • • • • • •
- • • • • • • • •
- • • • • • • • •
- • • • • • • • •
IV III
que en notación moderna resultan:
I =
II = a.b
III =
IV = b.a
De donde queda el bien conocido
Por un camino similar es posible, representando los números cúbicos (tercera potencia de algún entero) como cubos de puntos, demostrar la expansión de (a + b)³ = a³ + 3.a². b + 3b².a + b³. Precisamente las denominaciones de “cuadrado” o “cubo” para la segunda o tercera potencia de un número provienen de este tipo de representaciones.
Conocían los números racionales como una extensión lógica de los naturales (aritmos). Inmediatamente infirieron que la realidad toda era de naturaleza matemática, y que el número racional era, literalmente, la materia con que estaba hecho el cosmos en cada una sus partes. En efecto, siendo p y q enteros, una fracción p/q puede interpretarse como p veces el número 1/q, entonces claramente, siendo el universo racional y conmensurable, cualquier parte del cosmos podía expresarse en función de otra, llamando a la unidad de medida 1/q y a la medida p, por lo tanto p/q era ni más ni menos que la expresión matemática de la conmensurabilidad del mundo. En otras palabras, los pitagóricos creían que para cualquier entidad del mundo físico, dadas dos porciones de éste, siempre existe un número racional que es igual al cociente de ambas. Esta cosmovisión que le hacía decir a Pitágoras “todas las cosas son números” se refería no solo a la conmensurabilidad del universo, sino también a la misma realidad intrínseca de la materia que suponía construida con ellos. Esta sustancia ideal se proyectaba abarcando aún a los conceptos de punto e instante que, según ellos, detentaban alguna forma de extensión; de este modo un segmento era una suma de puntos y un intervalo de tiempo una suma de instantes, y la naturaleza última de éstos eran precisamente los números racionales. Nada menos que esta visión, cerrada, perfecta, fue la que se desmoronó con el descubrimiento, por su propia escuela, de los números irracionales (los griegos los llamaba “alogos”). Coherente a su filosofía de absoluta correspondencia entre la razón y la realidad, la existencia de números inconmensurables era un absurdo, un verdadero despropósito, ya que evidenciaba la presencia de objetos en el universo que no podían ser pensados ni medidos. El mundo ideal de las armonías aritmético-musicales estaba herido de muerte. A partir de esta encrucijada los matemáticos griegos posteriores a Pitágoras entendieron que había cosas que debían ser explicadas por la geometría más que por la aritmética, esta decisión dejó postergada a la teoría de los números durante siglos. Evidentemente la geometría expresaba de manera más natural la presencia de los irracionales, de modo que en Euclides ya se encuentra un manejo moderno del campo de los números reales.
El problema de los irracionales proviene del famoso teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo rectángulo isósceles de lado unitario, Fig. 1:
1
Fig.1
1
Puesto que el cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa resulta
Hipotenusa = √2
Pero ahora veremos que √2 no puede ser escrita de la forma p/q en donde, p y q son enteros irreducibles.
La demostración clásica de Pitágoras se hace por el absurdo, es decir, supongamos que √2 = p/q (con esto estamos suponiendo que √2 es racional) entonces vale que 2.q² = p², es decir p² es un número par, por lo tanto p debe ser par, ya que el cuadrado de todo numero impar es impar. De modo que p = 2s, reemplazando p en 2q² = p² tenemos: 2q² = 4s², donde surge que q² = 2s² es decir q es también par y se puede escribir q =2r. Por lo tanto es:
√2 = p/q = 2s/2r = s/r
pero esto es un absurdo porque la fracción p/q se había supuesto irreducible por lo tanto de ningún modo representable por s/r.
El gran drama de los pitagóricos, su gran secreto, surge cuando se analiza la fig.1, por lo que acabamos de ver nunca podrá medirse la hipotenusa en términos del cateto, jamás podrá ponerse la hipotenusa = p/q, no importa que segmentos se hayan tomado como longitud q de los catetos, es decir la hipotenusa es inconmensurable; sin embargo ahí está, visible, real, desafiando a la razón. El destino de los pitagóricos hubiera sido muy distinto si lejos de aterrorizarse hubieran aceptado este resultado como prueba de la existencia de una nueva familia de números, haciendo crecer el reino de la razón a expensas del de Dios, tal como posteriormente hicieron otros matemáticos griegos y a la postre todos los que construyeron el gran edificio de la Ciencia; pero para ello hubieran tenido que renunciar a su visión místico-religiosa y tal vez al poder que emanaba de ella. Como se sabe, las cosas no fueron analizadas de esta forma simple y directa, en realidad en un plano más abstracto, suponían haber encontrado una falla inexplicable en el plan general del Gran Arquitecto del Universo, en vista de esto decidieron hacer silencio para evitar ser castigados por la ira divina cuya intimidad fuera profanada por la inteligencia humana. Si estos fueron los hechos, queda vista la enorme estima que tenían los pitagóricos de sus capacidades intelectivas que, aun a riesgo de su integridad, les permitía dudar de la inteligencia de Dios antes que de la propia. Este es el primer paso que la humanidad tuvo que dar para construir la Ciencia tal como hoy la conocemos. Por esta razón Bertrand Russell admiraba a Pitágoras.
A pesar de esta formidable hazaña epistémica, los pitagóricos, como buena parte del pensamiento antiguo y medieval, pagaron un alto precio a su aspiración de restringir la realidad tangible a sus especulaciones intelectivas; precio que vienen pagando, aun ahora, todas aquellas escuelas filosóficas que desestiman la confrontación empírica. La existencia de los pitagóricos significó, como ya hemos dicho, uno de los hitos más importantes del pensamiento universal, no ya por su concepción “numerologica”, que arrancada de su contexto resulta absurda e irrelevante, sino por haber tratado de argumentar racionalmente siempre que pudieran hacerlo. Paradójicamente el gran legado pitagórico es precisamente lo que los condenó: la embriaguez de la razón. Ciertos eruditos que han hecho la exégesis de las ideas atribuidas a la escuela pitagórica, tienden a minimizar el papel de los saberes racionales poniendo en entredicho el verdadero origen de los mismos y acentuando a cambio la importancia de los aspectos místico-religiosos. Admitimos que en el pitagorismo todo es inseguro, y que un estudio serio del mismo implica, necesariamente, atender las tendencias científico y religiosa como dos aspectos paralelos del mismo fenómeno, que vemos que, a cada instante, se interrelacionan entre si de modos muy diversos. Precisamente esto nos hace pensar en el peso igualitario de ambas tendencias y que el racionalismo pitagórico es indisoluble de su impronta místico religiosa. Sin desmedro que sus hallazgos sigan siendo válidos hoy mismo por la sencilla razón de que son verdades matemáticas, en su época estuvieron, además, saturados de contenidos metafísicos. Tal el caso del “tetractys” o cuarto número triangular (ver más arriba número triangular 4 ); al que la escuela le asignaba propiedades maravillosas de tal forma que los pitagóricos se iniciaban en la orden jurando por él. O bien el propio significado etimológico de la palabra “teoría” que en su origen órfico designaba la contemplación apasionada de un dios que sufre, muere y renace; y que en manos de los pitagóricos se transforma en una “contemplación apasionada” de naturaleza intelectual que termina desembocando en el universo matemático, al que naturalmente le asignaban naturaleza divina.
Respecto de la otra vertiente, el pitagorismo era una filosofía ético-religiosa que exigía a sus miembros un severo comportamiento moral. La comunidad era de inusitada modernidad ya que estaba abierta a hombres y mujeres en igualdad de condiciones y sin distinción de clases, siendo la propiedad y los descubrimientos científico-matemáticos compartidos por todos. La hermandad vivía en casas comunales y acataba una serie de tabúes de oscuro significado: no ingerían alubias, no recogían lo que se había caído, no tocaban los gallos blancos, no rompían el pan, no pasaban bajo un travesaño, no removían la lumbre con un hierro, no comían una hogaza de pan entera, no recogían guirnaldas, no comían corazón, no andaban por las carreteras, etc.
Consideraban que la mente era de naturaleza excelsa y que en ella residía el espíritu, “todo lo ve y todo lo oye, lo demás es ciego y sordo” decían, era lógico entonces que supusieran además que era eterna e indestructible y que, al perecer el soporte corpóreo, transmigrara a otra entidad a la que le daban vida. La mente que era capaz de especular con la esencia de las cosas, era ella misma, una esencia inmaterial. El mismo Pitágoras decía ser encarnación del poeta Euforbo hijo de Pántoo. No hay duda que la escuela pitagórica disponía de una doctrina integral que abarcaba todo los aspectos vinculados a la dualidad espíritu-materia; junto a la descripción “física” de sus sucesivos estados, proponían además otro mecanismo ético-religioso, por el cual los hombres probos, que hubieran llevado una vida ejemplar, podrían liberarse del proceso cíclico de transmigraciones que afectaban a todas las almas por igual. El cuerpo era una cárcel, de la que se podía escapar únicamente mediante un esfuerzo moral supremo. Así lo hace saber Pitágoras en sus famosos Versos de Oro, tal vez apócrifos, en donde recomienda explícitamente una existencia decorosa signada por el recato y la modestia; éste enfoque, compartido por muchas religiones antes y después del pitagorismo resuelve el malestar metafísico que implica constatar la desaparición del espíritu junto con la materia que los sustenta.
En este medio de intenso misticismo intelectual, no pocos son los conocimientos puramente matemáticos, que se le debe a la escuela de Crotona. Naturalmente debemos ser discretos respecto del verdadero origen de los mismos, pero ellos fueron los primeros que pusieron en marcha los argumentos deductivo-demostrativos en las pruebas matemáticas, con esta metodología descubrieron la existencia de los números irracionales, la famosa relación entre catetos e hipotenusa en un triángulo rectángulo, por la que según cuenta Porfirio, el Gran Maestro de la Orden, festejó sacrificando un buey. Además llegaron a saber que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 2 rectos, que la suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es (2n – 4) rectos, que los únicos polígonos regulares que pueden llenar un plano sin huecos son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular, la determinación de áreas iguales, que posteriormente permitieron la solución geométrica de ecuaciones cuadráticas, y un sinnúmero de otros hallazgos matemáticos atribuidos a la escuela.
Una y otra vez, la escuela de Crotona dio por sentada la existencia de entes naturales por el mero hecho de adecuarse a sus teorías aunque las evidencias no los avalaran, tal el caso del planeta Anti-Tierra que los pitagóricos afirmaban que debía existir, ya que considerando al diez o tetractys como un número perfecto, los cuerpos celestes que colmaban el universo no podían ser otra cosa que diez, mientras que los observados empíricamente, en esos días, llegaban solo a nueve (las estrellas fijas consideradas como un único cuerpo celeste, los cinco planetas, el sol, la luna y la tierra)
Los pitagóricos equivocaron la mayoría de sus concepciones físicas pero, obviamente, ninguna de sus demostraciones matemáticas que conocemos, debemos por lo tanto, en el primer caso, ser indulgentes atendiendo al rudimentario estado de la tecnología disponible en su época y a las duras limitaciones de sus ideas filosófico-religiosas; pero debemos en cambio maravillarnos de lo logrado, con la pura inteligencia, en el terreno de la geometría y la aritmética. Por eso entendemos a Sir James Summer Maine cuando dice refiriéndose al mundo griego en general: “Excepto las fuerzas ciegas de la naturaleza, no se mueve en el mundo nada que no sea griego en sus orígenes.”
No es casualidad que la Francmasonería haya asumido como propia muchas de las enseñanzas de la Escuela Pitagórica, en particular el profuso simbolismo asociado a la noción tríada, de la que los triángulos rectángulos son una caso particular; con ellos están relacionados los ángulos rectos y las escuadras ampliamente presentes en la simbología masónica. Dentro del llamado ritual escocés antiguo y aceptado, la joya que pende del collarín que utiliza el ex Venerable Maestro (Past Master) Fig. 2a y Fig. 2b, presenta una famosa y algo difícil demostración del teorema, que se debe a Euclides y aparece como la proposición 47 en libro I de “Elementos”
Fig. 2a Fig. 2b
El uso del esquema de las Fig. 2b, utilizado por Euclides para hacer su demostración, se remonta, en la Francmasonería, al “Book of Constitutions” de Anderson, aunque su integración a la joya del pastmaster tal como se la usa hoy día, sólo tiene lugar a partir de 1813. En efecto, en la portada de la edición de 1723 aparece por primera vez en carácter de símbolo francmasónico como seguro homenaje a una herramienta utilizada desde los tiempos bíblicos por los masones operativos. Destaquemos sin embargo, que no fue Anderson quién imaginó esta ofrenda, puesto que el conocimiento, uso y significación simbólica ya eran comunes entre los masones operativos y especulativos con anterioridad. Para éstos el teorema no es otra cosa que la formulación matemática de la escuadra, una de las tres grandes luces de la Francmasonería que entre ellos simbolizan sus ideales ético-morales.
Su presencia, visible en los cimientos del conocimiento científico de cualquier época, satura la historia de la matemática y por lo tanto de la tecnología. Tal vez haya sido de Pitágoras la primera demostración formal, pero no es de ninguna manera imposible que otros pueblos hayan llegado al mismo resultado. Este es el caso de los Babilonios que sabían y hacían uso 1700 a.C. de ternas de números pitagóricos, a tal respecto existen registros cuneiformes como la tablilla Plimpton 322 que muestra una larga lista de estos números que sus ingenieros debían usar corrientemente en sus construcciones, de este modo, si bien conocer números pitagóricos no es conocer la prueba del teorema, esta es suficientemente sencilla y elemental como para que la misma haya sido demostrada antes por ellos.
A modo de corolario diremos que la propiedad de los triángulos rectángulos, demostrada por el teorema de Pitágoras, ha tenido extraordinaria influencia en la historia del pensamiento. Según vimos fue detonante de la catástrofe pitagórica y aún en la actualidad, la demostración dada por Euclides, se conserva como símbolo de la rectitud en la Francmasonería. Su presencia impregna el conocimiento matemático de todos los tiempos y lugares, como prueban las centenares de pruebas existentes para el mismo, y es digno ejemplo del maravilloso pensamiento griego que, desde entonces, no ha dejado un instante de asombrarnos.
Por el Lic. José María Lentino.
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